Números como π, e y φ a menudo aparecen en lugares inesperados en ciencias y matemáticas. El triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci también parecen inexplicablemente generalizados en la naturaleza. Luego está la función zeta de Riemann, una función engañosamente sencilla que ha dejado perplejos a los matemáticos desde el siglo XIX. El dilema más famoso, la hipótesis de Riemann, es quizás la mayor pregunta sin resolver en matemáticas, y el Clay Mathematics Institute ofrece un premio de $ 1 millón por una prueba correcta.
El físico de UC Santa Barbara, Grant Remmen, cree que tiene un nuevo enfoque para explorar las peculiaridades de la función zeta. Ha encontrado un análogo que traduce muchas de las propiedades importantes de la función a la teoría cuántica de campos. Esto significa que los investigadores ahora pueden aprovechar las herramientas de este campo de la física para investigar la enigmática y extrañamente omnipresente función zeta. Su trabajo podría incluso conducir a una prueba de la hipótesis de Riemann. Remmen expone su enfoque en la revista Physical Review Letters.
“La función zeta de Riemann es esta función matemática famosa y misteriosa que surge en la teoría de números por todas partes”, dijo Remmen, un académico postdoctoral en el Instituto Kavli de Física Teórica de la UCSB. “Se ha estudiado durante más de 150 años”.
Una perspectiva exterior
Remmen generalmente no trabaja para descifrar las preguntas más importantes de las matemáticas. Por lo general, está preocupado por resolver las preguntas más importantes de la física. Como becario de física fundamental en UC Santa Barbara, normalmente dedica su atención a temas como la física de partículas, la gravedad cuántica, la teoría de cuerdas y los agujeros negros. “En la teoría moderna de alta energía, la física de las escalas más grandes y las escalas más pequeñas encierran los misterios más profundos”, comentó.
Una de sus especialidades es la teoría cuántica de campos, que describe como un “triunfo de la física del siglo XX”. La mayoría de la gente ha oído hablar de la mecánica cuántica (partículas subatómicas, incertidumbre, etc.) y la relatividad especial (dilatación del tiempo, E=mc2, etc.). “Pero con la teoría del campo cuántico, los físicos descubrieron cómo combinar la relatividad especial y la mecánica cuántica en una descripción de cómo se comportan las partículas que se mueven a la velocidad de la luz o cerca de ella”, explicó.
La teoría cuántica de campos no es exactamente una teoría única. Es más como una colección de herramientas que los científicos pueden usar para describir cualquier conjunto de interacciones de partículas.
Remmen se dio cuenta de que uno de los conceptos que contiene comparte muchas características con la función zeta de Riemann. Se llama amplitud de dispersión y codifica la probabilidad mecánica cuántica de que las partículas interactúen entre sí. Estaba intrigado.
Las amplitudes de dispersión a menudo funcionan bien con momentos que son números complejos. Estos números constan de una parte real y una parte imaginaria, un múltiplo de √-1, que los matemáticos llaman i. Las amplitudes de dispersión tienen buenas propiedades en el plano complejo. Por un lado, son analíticos (se pueden expresar como una serie) alrededor de cada punto, excepto un conjunto seleccionado de polos, que se encuentran a lo largo de una línea.
“Eso parecía similar a lo que sucede con los ceros de la función zeta de Riemann, que parecen estar todos en una línea”, dijo Remmen. “Entonces pensé en cómo determinar si esta aparente similitud era algo real”.
Los polos de amplitud de dispersión corresponden a la producción de partículas, donde ocurre un evento físico que genera una partícula con un momento. El valor de cada polo se corresponde con la masa de la partícula que se crea. Así que se trataba de encontrar una función que se comportara como una amplitud de dispersión y cuyos polos correspondieran a los ceros no triviales de la función zeta.
Con lápiz, papel y una computadora para verificar sus resultados, Remmen se puso a trabajar en el diseño de una función que tuviera todas las propiedades relevantes. “Había tenido la idea de conectar la función zeta de Riemann a las amplitudes en el fondo de mi mente durante un par de años”, dijo. “Una vez que me dispuse a encontrar una función de este tipo, me tomó alrededor de una semana construirla, y explorar completamente sus propiedades y escribir el artículo tomó un par de meses”.
Engañosamente simple
En esencia, la función zeta generaliza la serie armónica:
Esta serie se expande hasta el infinito cuando x ≤ 1, pero converge a un número real para cada x > 1.
En 1859, Bernhard Riemann decidió considerar qué sucedería cuando x fuera un número complejo. La función, que ahora lleva el nombre de Riemann zeta, toma un número complejo y escupe otro.
Riemann también decidió extender la función zeta a los números donde el componente real no era mayor que 1 definiéndolo en dos partes: la definición familiar se cumple en los lugares donde se comporta la función, y otra definición implícita cubre los lugares donde normalmente explotaría. hasta el infinito.
Gracias a un teorema de análisis complejo, los matemáticos saben que solo hay una formulación para esta nueva área que conserva sin problemas las propiedades de la función original. Desafortunadamente, nadie ha podido representarlo en una forma con un número finito de términos, lo cual es parte del misterio que rodea a esta función.
Dada la simplicidad de la función, debería tener algunas características interesantes. “Y, sin embargo, esas propiedades terminan siendo diabólicamente complicadas de entender”, dijo Remmen. Por ejemplo, tome las entradas donde la función es igual a cero. Todos los números pares negativos se asignan a cero, aunque esto es evidente, o “trivial”, como dicen los matemáticos, cuando la función zeta se escribe en ciertas formas. Lo que ha dejado perplejos a los matemáticos es que todos los demás ceros no triviales parecen estar a lo largo de una línea: cada uno de ellos tiene un componente real de ½.
Riemann planteó la hipótesis de que este patrón se mantiene para todos estos ceros no triviales, y la tendencia se ha confirmado para los primeros billones de ellos. Dicho esto, hay conjeturas que funcionan para billones de ejemplos y luego fallan en números extremadamente grandes. Entonces, los matemáticos no pueden estar seguros de que la hipótesis sea cierta hasta que se pruebe.
Pero si es cierta, la hipótesis de Riemann tiene implicaciones de largo alcance. “Por varias razones, surge por todas partes en cuestiones fundamentales de las matemáticas”, dijo Remmen. Los postulados en campos tan distintos como la teoría de la computación, el álgebra abstracta y la teoría de números dependen de que la hipótesis sea cierta. Por ejemplo, demostrarlo proporcionaría una descripción precisa de la distribución de los números primos.
Un análogo físico
La amplitud de dispersión que encontró Remmen describe dos partículas sin masa que interactúan intercambiando un conjunto infinito de partículas masivas, una a la vez. La función tiene un polo, un punto donde no se puede expresar como una serie, que corresponde a la masa de cada partícula intermedia. Juntos, los polos infinitos se alinean con los ceros no triviales de la función zeta de Riemann.
Lo que construyó Remmen es el componente principal de la interacción. Hay infinitamente más que cada uno explica aspectos cada vez más pequeños de la interacción, describiendo procesos que involucran el intercambio de múltiples partículas masivas a la vez. Estas “amplitudes de nivel de bucle” serían objeto de trabajos futuros.
La hipótesis de Riemann postula que todos los ceros no triviales de la función zeta tienen un componente real de ½. Traduciendo esto al modelo de Remmen: Todos los polos de la amplitud son números reales. Esto significa que si alguien puede probar que su función describe una teoría cuántica de campos consistente, es decir, una en la que las masas son números reales, no imaginarios, entonces se probará la hipótesis de Riemann.
Esta formulación lleva la hipótesis de Riemann a otro campo de la ciencia y las matemáticas, uno con poderosas herramientas para ofrecer a los matemáticos. “No solo existe esta relación con la hipótesis de Riemann, sino que hay una lista completa de otros atributos de la función zeta de Riemann que corresponden a algo físico en la amplitud de dispersión”, dijo Remmen. Por ejemplo, ya ha descubierto identidades matemáticas poco intuitivas relacionadas con la función zeta utilizando métodos de la física.
El trabajo de Remmen sigue una tradición de investigadores que recurren a la física para arrojar luz sobre los dilemas matemáticos. Por ejemplo, el físico Gabriele Veneziano hizo una pregunta similar en 1968: si la función beta de Euler podría interpretarse como una amplitud de dispersión. “Ciertamente puede”, comentó Remmen, “y la amplitud que construyó Veneziano fue una de las primeras amplitudes de la teoría de cuerdas”.
Remmen espera aprovechar esta amplitud para aprender más sobre la función zeta. “El hecho de que existan todos estos análogos significa que algo está pasando aquí”, dijo.
Y el enfoque establece un camino para posiblemente probar la hipótesis centenaria. “Las innovaciones necesarias para demostrar que esta amplitud proviene de una teoría cuántica de campo legítima, automáticamente, le brindarán las herramientas que necesita para comprender completamente la función zeta”, dijo Remmen. “Y probablemente también te daría más”.
